2023/07/07 by Johanna Jakob, Jakob, Johanna
Mathematics · #46E10 #46E40 #46G05 #54C20 #58A20 (primary) #58C25 #Advanced Topology and Set Theory #FOS: Mathematics #Functional Analysis (math.FA) #Functional Equations Stability Results #Point processes and geometric inequalities
paper · pdf · doi:10.48550/arxiv.2307.03473
openalex publication_date 2023/07/07 · openalex created_date 2025/10/10 · openalex updated_date 2026/07/28
Let k∈ℕ0∪\∞\. According to Whitney's extension theorem, each real-valued Whitney k-Jet on a closed subset A⊆ℝn can be extended to a Ck-function on ℝn. Based on Whitney's original work, we prove analogous results for jets and functions with values in a real Hausdorff locally convex topological vector space E. In the case k<∞, we obtain a continious linear extension operator, that is a continious linear right inverse of the map Ck(ℝn,E)→ Ek(A,E), f↦ ((∂α f)\vertA)\vertα\vert≤ k. Assuming that E ist metrizable, we also succeed in extending Whitney ∞-jets. Given a Ck-manifold M (which may have a "rough boundary"), we deal with the problem how to extend Whitney k-Jets defined on closed subsets A⊆ M to Ck-functions on M. In particular, we show for k<∞ that the restriction map Ck(M,E)→ Ck(A,E), f↦ f\vertA has a continuous linear right inverse for each closed submanifold A⊆ M if M is Ck-paracompact and A locally compact, or if M is regular and A compact. ----- Sei k∈ℕ0∪\∞\. Der Whitneysche Fortsetzungssatz besagt, dass sich jeder reellwertige Whitneysche k-Jet auf einer abgeschlossenen Teilmenge A⊆ℝn zu einer Ck-Funktion auf ℝn fortsetzen lässt. Ausgehend von Whitneys Originalarbeit beweisen wir analoge Resultate für Jets und Funktionen mit Werten in einem reellen Hausdorffschen lokalkonvexen topologischen Vektorraum E. Im Falle k<∞ erhalten wir einen stetigen linearen Fortsetzungsoperator, also eine stetige lineare Rechtsinverse der Abbildung Ck(ℝn,E)→ Ek(A,E), f↦ ((∂α f)\vertA)\vertα\vert≤ k. Die Fortsetzung von E-wertigen Whitneyschen ∞-Jets gelingt uns unter der Annahme, dass E metrisierbar ist. Sei M eine endlichdimensionale Ck-Mannigfaltigkeit (welche einen "rauen Rand" haben mag). Wir befassen uns mit der Frage, wie man Whitneysche k-Jets, die auf einer abgeschlossenen Teilmenge A⊆ M definiert sind, zu Ck-Funktionen auf M fortsetzen kann. Insbesondere beweisen wir für k<∞ dass die Einschränkung Ck(M,E)→ Ck(A,E), f↦ f\vertA für jede abgeschlossene Untermannigfaltigkeit A⊆ M eine stetige lineare Rechtsinverse besitzt, wenn M Ck-parakompakt und A lokalkompakt, oder M regulär und A kompakt ist.