2019/07/09 by Lorenz Milla, Milla, Lorenz
Computer Science · Mathematics · #Advanced Algebra and Logic #Approximation Theory and Sequence Spaces #FOS: Mathematics #Number Theory (math.NT) #Rings, Modules, and Algebras
paper · pdf · doi:10.48550/arxiv.1907.04110
openalex publication_date 2019/07/09 · openalex created_date 2024/04/10 · openalex updated_date 2026/07/28
This paper consists of three independent parts: First we use only elementary algebra to prove that the quartic algorithm of the Borwein brothers has exactly the same output as the Brent-Salamin algorithm, but that the latter needs twice as many iterations. Second we use integral calculus to prove that the Brent-Salamin algorithm approximates π. Combining these results proves that the Borwein brothers' quartic algorithm also approximates π. Third, we prove the quadratic convergence of the Brent-Salamin algorithm, which also proves the quartic convergence of Borwein's algorithm. -- -- Dieses Paper besteht aus drei unabhängigen Teilen: Erstens beweisen wir mit elementarer Algebra, dass der Borwein-Algorithmus vierter Ordnung die gleichen Ergebnisse liefert wie der Brent-Salamin-Algorithmus, wobei letzterer doppelt so viele Iterationen benötigt. Zweitens beweisen wir mit Integralrechnung, dass der Brent-Salamin-Algorithmus gegen π konvergiert. Hieraus folgt, dass der Borwein-Algorithmus vierter Ordnung ebenfalls gegen π konvergiert. Drittens beweisen wir die quadratische Konvergenz des Brent-Salamin-Algorithmus und somit auch die quartische Konvergenz des Borwein-Algorithmus.