2024/12/16 by Xavier Caruso, Caruso, Xavier, Quentin Gazda +3 · 1 citation
Mathematics · #Rings, Modules, and Algebras #Advanced Topics in Algebra #Algebraic structures and combinatorial models
paper · pdf · doi:10.48550/arxiv.2412.11588
Soit p un nombre premier impair et wp = tp - t - m (m dans Fp^*) un premierd'Artin-Schreier de Fp[t] ; ce sont exactement les premiers de Wilson de degrep au sens de Thakur. En notant Fp le produit de tous les polynomes non nuls dedegre inferieur a p (de sorte que le theoreme de Wilson en corps de fonctionsdonne Fp == -1 mod wp), on demontre la supercongruence EXACTE Fp == -1 - wp^(p-1) (mod wpp). Par consequent la congruence de Wilson tient exactement a l'ordre p-1 (et non p),avec terme dominant explicite (Fp + 1)/wp^(p-1) == -1 (mod wp). Thakur (2012,2013, 2015, 2022) etablit seulement la borne inferieure (mod wp^(p-1)) et posel'exactitude de l'ordre et le calcul des multiplicites comme question ouverte(Thakur 2022, Question 7.5(1)) pour p > 2. Le present resultat repond a cettequestion pour la famille canonique des premiers d'Artin-Schreier : il n'y a pasd'amelioration au-dela de wp^(p-1), et l'obstruction est exactement -wp^(p-1).La demonstration repose sur le developpement wp-adique exact des crochets[i] = t^(pi) - t (a savoir [i] == i*m + wp mod wpp), l'identite L_(p-1) ==wp^(p-1) - 1 mod wpp, et une factorisation de Fp comme -(produit des polynomesunitaires de degre < p)^(p-1). Un script Python pur (compatible Pyodide, joint)verifie le theoreme en arithmetique exacte pour p = 3, 5, 7, 11, en calculant enoutre Fp DIRECTEMENT (produit de tous les polynomes non nuls de degre < p) pourp = 3 et p = 5. [EN] Let p be an odd prime and wp = tp - t - m (m in Fp^*) an Artin-Schreierprime of Fp[t] -- exactly the degree-p Wilson primes of Thakur. With Fp theproduct of all nonzero polynomials of degree < p (so that the function-fieldWilson theorem gives Fp == -1 mod wp), we prove the EXACT supercongruenceFp == -1 - wp^(p-1) (mod wpp). Hence the Wilson congruence holds to orderexactly p-1 (not p), with explicit leading term (Fp+1)/wp^(p-1) == -1 (mod wp).Thakur (2012-2022) proves only the lower bound (mod wp^(p-1)) and lists exactnessof the order and the exact multiplicities as an open question for p > 2; thisanswers it for the canonical Artin-Schreier family. An enclosed pure-Python(Pyodide-compatible) script verifies the theorem in exact arithmetic forp = 3, 5, 7, 11, computing Fp directly for p = 3, 5.