2025/04/28 by Kamel-Meyrigne, Melvyn El
#FOS: Mathematics #Number Theory (math.NT)
paper · doi:10.48550/arxiv.2504.20230
Let k0 be a number field, K be a finite extension of k0( (x1,...,xn) ) and let R be the integral closure of k0[[x1,...,xn]] in K. Consider a group of multiplicative type G defined over K. We study the Tate-Shafarevich group given by elements of H1(K,G) locally trivial at completions of K with respect to the points of codimension 1 of Spec(R). We show the finiteness of the Tate-Shafarevich group when G comes from a group of multiplicative type Gk0 defined over k0 provided that two technical conditions are satisfied. We then prove that the Tate-Shafarevich group is trivial when the ring of integers R is regular. -- Soient k0 un corps de nombres, K une extension finie de k0( (x1,...,xn) ) et soit R la clôture intégrale de k0[[x1,...,xn]] dans K. Soit G un groupe de type multiplicatif défini sur k0. On étudie le groupe de Tate-Shafarevich donné par les éléments de H1(K,G) localement triviaux aux complétions de K par rapport aux points de codimension 1 de Spec(R). On établit la finitude du groupe de Tate-Shafarevich lorsque G provient d'un groupe de type multiplicatif Gk0 défini sur k0 sous réserve que deux hypothèses techniques soient satisfaites. On montre que le groupe de Tate-Shafarevich est trivial lorsque l'anneau des entiers R est régulier.