2026/07/22 by Christian Táfula
Mathematics · #Advanced Banach Space Theory #Advanced Harmonic Analysis Research #Holomorphic and Operator Theory #math.CO #math.NT
paper · pdf · doi:10.1007/s00605-026-02211-4
openalex publication_date 2026/07/29 · openalex created_date 2026/07/30 · openalex updated_date 2026/07/31
Abstract Let h ≥ 2 <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , and let b = (b1,… ,bh)∈ \mathbb Zh <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mi>h</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>Z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>h</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> be a zero-sum vector with nonzero coordinates. For a set A=\a1lt;a2lt;⋯ \⊆ \mathbb N <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo></mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo><</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mo></mml:mo> <mml:mo>⊆</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , let rA,b(n) <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> denote the number of h -tuples (x1,… ,xh) <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>h</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> of pairwise distinct elements of A satisfying b1x1+⋯ +bhxh=n <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mi>h</mml:mi> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>h</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . We study density restrictions on sets A for which these representation counts remain small, obtaining analogues of the classical density theorem for infinite Sidon sets. In the case b = (c1,-c1,… ,ck,-ck) <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , we prove that if A(x)/(x/log x)1/2k→ ∞ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:msup>